前言: 现有的高中数学教材对于三角函数的定义, 在定义的时候不是十分的清楚,学生在理解的过程中往往感觉杂乱,没有头绪,本文就给出一个详细的论述过程,且方便记忆

一:任意角的三角函数的定义:

三角函数是数学中一个极其重要的概念，它主要描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。这些函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）。

任意角的三角函数是指在直角坐标系中，一个角的终边上任取一点P，该点到原点O的距离称为该角的半径，记为r。点P的横坐标记为x，纵坐标记为y。那么，这个角α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割可以通过下面的公式定义：

这就是说，对于确定的角α,sina、cosa、tana、cotα、secα、csa都有确定的值，因为它们的值是随着α变化而变化的，当α角取确定值的时候，它们的值也相应地唯一确定，所以，角α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割都是角α的函数，这些函数都叫做三角函数.很明显，当角α是锐角或钝角时，上面三角函数的定义和锐角、钝角三角函数的定义完全一样，所以锐角、钝角三角函数定义是任意角三角函数定义的特例.

核心观点: 正余弦的定义 r始终是大于0的, 所以正余弦需要看角终边在哪个项限.在理解的过程中,请尽量记住x,y,这样容易理解

1. 正弦（sin）：正弦函数定义为角α的终边与单位圆相交点的纵坐标与半径r的比值，即 sin α = y / r。

2. 余弦（cos）：余弦函数定义为角α的终边与单位圆相交点的横坐标与半径r的比值，即 cos α = x / r。

3. 正切（tan）：正切函数定义为角α的正弦值与余弦值的比值，即

tan α = sin α / cos α = y / x。

4. 余切（cot）：余切函数定义为角α的余弦值与正弦值的比值，即

cot α = cos α / sin α = x / y。

5. 正割（sec）：正割函数定义为角α的余弦值的倒数，即

sec α = 1 / cos α = r / x。

6. 余割（csc）：余割函数定义为角α的正弦值的倒数，即

csc α = 1 / sin α = r / y。

需要注意的是，这些定义在角度制的单位下是有效的，而在弧度制下，一个完整的圆周对应于2π弧度。因此，在弧度制下，这些三角函数的定义和性质是相同的，只是单位不同。

二: 三角函数sinx的定义:

定义: 变数x的三角函数就是具有弧度数x的角（或弧）的三角函数

例 若x=1.54，求sinx的值。

下面是对这道题的解析，具体内容为“因为，

又1.541.54弧度'≈88°14′, 所以\sin 1.54≈sin88°14′≈0.9995 在任意大小的角、弧及数之间所能建立的对应，使得我们可以认为三角函数是角的函数，或是弧的函数，或是数的函数，其中变数由我们处理，可以解释为角或解释为弧，或解释为数

三: 三角函数的正负性:

四:总结

1.三角函数可以表示为实数(弧度) 和角度, 一般研究三角函数主要是看弧度 x为实数

2.角的终边决定三角函数的正负性. r>0, (x,y)确定正负性,(x,y)是在不同象限符号不一样

学生要善于从角度到弧度的认知进行转变,

π=180° 即 1弧度=1度/180度.π

x=度数/180度.π 比如30度的弧度=30/180.π=1/6π

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