高中数学: 4个指数变化不同分数函数y=1/x(x-1)的主要性质对比
高中数学： 4个指数变化不同分数函数y=1/x(x-1)的主要性质对比
主要内容：
本文介绍分数函数y=1/x(x-1)当n（此时分别取n=1,2,3,4）的取值变化时，函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等主要函数性质如何变化，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间，可对比分析区间变化。
一、分数函数y=1/x(x-1)性质归纳
1.函数定义域及值域：
因为y=1/x(x-1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量应满足：
x≠0且x-1≠0，即：x≠1，所以函数的定义域为(-∞，0)，(0，1)，(1，+∞）。
由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。
2.函数的单调性：
由y=1/x(x-1)，对x求导得：
dy/dx=-[(x-1)+x*1]/[x(x-1)]^2,
dy/dx=-(2x-1)/[x(x-1)]^2,
令dy/dx=0，则2x-1=0,即x=1/2=0.5.判断函数的单调性如下：
(1)当x∈(-∞, 0)，(0, 0.5)时，dy/dx>0,此时函数y为增函数。
(2)当x∈[0.5,1),( 1,+∞)时，dy/dx<0,此时函数y为减函数。
3.函数的凸凹性：
由dy/dx=-(2x-1)/[x(x-1)]^2，再次对x求导得，
d^2y/dx^2=-{2[x(x-1)]^2-2(2x-1)[x(x-1)](x-1)+x*1)}/[x(x-1)]，
=-[2 [x(x-1)]-2(2x-1) (x-1)+x*1)]/[x(x-1)]^3,
=-2[x(x-1)-(2x-1)^2]/[x(x-1)]^3,
=2(3x^2-3x+1)/[x(x-1)]^3,
对g(x)=3x^2-3x+1,其判别式为：
△=3^2-4*3*1<0,即g(x)图像与x轴无交点，g(x)>0,可知，
dy^2/dx^2的符号取决于分母，此时有：
(1)当x∈(-∞,0)，(1，+∞)时，dy^2/dx^2>0，此时函数y为凹函数；
(2)当∈(0,1)时，dy^2/dx^2<0,此时函数y为凸函数。
4.函数的极限:
lim(x→-∞) 1/x(x-1)=0，
lim(x→0-) 1/x(x-1)=-∞，
lim(x→0+) 1/x(x-1)=+∞，
lim(x→+∞) 1/x(x-1)=0。
5.函数的奇偶性:
因为f(x)=1/x(x-1),
所以f(-x)=1/{(-x)*[1(-x)-1]}=-1/x(-x-1)，即：
f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)；
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数。
二、分数函数y=1/x(x^2-1)主要性质归纳
1.函数定义域及值域：
因为y=1/x(x^2-1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，
且x^2-1≠0，即x^2≠1，则x≠-1，x≠1。所以函数的定义域为:
(-∞，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，+∞)。
由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0)，(0，+∞）。
2.函数的单调性：
由y=1/x(x^2-1)，对x求导得：
dy/dx=-[(x^2-1)+x*2x]/[x(x^2-1)]^2=-(3x^2-1)/[x(x^2-1)]^2,
令dy/dx=0,则3x^2-1=0，此时有：
x3=-1/√3≈-0.57，x4=1/√3≈0.57。
所以函数的单调性及单调区间为：
(1)当x∈(-∞，-1)，(-1，-0.57]，[0.57，1)，(1，+∞)时，
dy/dx>0,函数为增函数。
(2)当x∈(-0.57，0)，(0，0.57）时，dy/dx<0,函数为减函数。
3.函数的凸凹性：
由dy/dx=-(3x^2-1)/[x(x^2-1)]^2，再次对x求导得，
d^2y/dx^2=-{6x[x(x^2-1)]^2-2(3x^2-1)[x(x^2+1)](x^2-1+2x^2)}/[x(x^2-1)] ，
=-[6x^2(x^2-1)-2(3x^2-1)(3x^2-1)]/[x(x^2-1)]^3,
=-2[3x^2(x^2-1)-(3x^2-1)^2]/[x(x^2-1)]^3,
=2(6x-3x^2+1)/[x(x^2-1)]^3,可知，
对于g(x)=6x-3x^2+1看做成x^2的二次函数，判别式=3^2-4*6*1<0,即分子为正数，所以d^2y/dx^2的符号取决于分母。
(1)当x∈(-1，0)，(1，+∞)时，d^2y/dx^2>0，此时函数y为凹函数；
(2)当x∈(-∞，-1)，(0，1)时，d^2y/dx^2<0,此时函数y为凸函数。
4.函数的极限:
lim(x→-∞) 1/x(x^2-1)=0，
lim(x→0-) 1/x(x^2-1)=-∞，
lim(x→0+) 1/x(x^2-1)= +∞，
lim(x→+∞) 1/x(x^2-1)=0，
lim(x→-1-) 1/x(x^2-1)=-∞，
lim(x→-1+) 1/x(x^2-1)=+∞，
lim(x→1-) 1/x(x^2-1)=-∞，
lim(x→1+) 1/x(x^2-1)=+∞。
5.函数的奇偶性
因为f(x)=1/x(x^2-1),所以f(-x)=1/{(-x)*[1(-x)^2-1]}，即：
f(-x)=-1/x(x^2-1)=-f(x).
所以函数为奇函数，关于原点对称。
三、分数函数y=1/x(x^3-1)主要性质归纳
1.函数定义域及值域：
因为y=1/x(x^3-1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，
且x^3-1≠0，则x≠1.函数的定义域为:
(-∞，0)，(0，1)，(1，+∞)。
由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。
2.函数的单调性：
由y=1/x(x^3-1)，对x求导得：
dy/dx=-[(x^3-1)+x*3x^2]/[x(x^2-1)]^2,
dy/dx=-(4x^3-1)/[x(x^2-1)]^2,
令dy/dx=0，则4x^3-1=0,即x=1/^3√4≈0.62.
判断函数的单调性如下：
(1)当x∈[0.62，1)，( 1,+∞)时，dy/dx<0,此时函数y为减函数。
(2)当x∈(-∞, 0), (0, 0.62)时，dy/dx>0，此时函数y为增函数。
3.函数的凸凹性：
由dy/dx=-(4x^3-1)/[x(x^3-1)]^2，再次对x求导得，
d^2y/dx^2=-{12x^2[x(x^3-1)]^2-2(4x^3-1)[x(x^3-1)](x^3-1+3x^3)}/[x(x^3-1)]，
=-[12x^3(x^3-1)-2(4x^3-1)(4x^3-1)]/[x(x^3-1)]^3,
=-2[6x^3(x^3-1)-(4x^3-1)^2]/[x(x^3-1)]^3,
=2(10x-2x^3+1)/[x(x^3-1)]^3,
对g(x)=10x+2x^3+1,看做为x^3的二次方程，其判别式为：
△=2^2-4*10*1<0,即g(x)图像与x轴无交点，且g(x)>0,可知，
二次导数的符号取决于分母的符号。
(1)当x∈(-∞，0)，(1，+∞)时，d^2y/dx^2>0，此时函数y为凹函数；
(2)当x∈(0，1)时，d^2y/dx^2<0,此时函数y为凸函数。
4.函数的极限:
lim(x→-∞) 1/x(x^3-1)=0，
lim(x→0-) 1/x(x^3-1)=-∞，
lim(x→0+) 1/x(x^3-1)=+∞，
lim(x→+∞) 1/x(x^3-1)=0，
lim(x→-1-) 1/x(x^3-1)=+∞，
lim(x→-1+) 1/x(x^3-1)=-∞。
5.函数的奇偶性
因为f(x)=1/x(x^3-1),
所以f(-x)=1/{(-x)*[ (-x)^3-1]}=-1/x(-x^3-1)，即：
f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)；
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数。
四、分数函数y=1/x(x-1)主要性质归纳
1.函数定义域及值域：
因为y=1/x(x-1)，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知:
x-1≠0,即x≠±1.所以函数的定义域为(-∞，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，+∞）。
由于函数的分子为1，所以该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。
2.函数的单调性：
由y=1/x(x-1)，对x求导得：
dy/dx=-[(x-1)+x*4x^3]/[x(x-1)]^2,
dy/dx=-(5x-1)/[x(x-1)]^2,
令dy/dx=0,则5x-1=0，即：
两个零点x1=- (1/√5)≈-0.668，x2= (1/√5)≈0.668,
此时函数的单调性及单调区间为：
(1)当x∈[-0.668, -1)，(-1, 0.668]时，一阶导数dy/dx>0，此时函数为增函数。
(2)当x∈(-∞，-0.668)，[0.668, 1)，(1，+∞)时，一阶导数dy/dx<0，则函数为减函数。
3.函数的凸凹性：
由dy/dx=-(5x-1)/[x(x-1)]^2，再次对x求导得，
d^2y/dx^2=-{20x^3[x(x-1)]^2-2(5x-1)[x(x-1)](x-1+4x)}/[x(x-1)]，
=-[20x(x-1)-2(5x-1)(5x-1)]/[x(x-1)]^3,
=-2[10x(x-1)-(5x-1)^2]/[x(x-1)]^3,
=2(15x+1)/[x(x-1)]^3，
则函数的凸凹性取决于分母的符号。
(1)当x∈(-∞，-1)，(0，1)时，d^2y/dx^2<0,此时函数y为凸函数。
(2)当(-1，0)，(1，+∞)时，d^2y/dx^2>0，此时函数y为凹函数；
4.函数的极限:
lim(x→-∞) 1/x(x-1)=0，
lim(x→0-) 1/x(x-1)=-∞，
lim(x→0+) 1/x(x-1)= +∞，
lim(x→+∞) 1/x(x-1)=0，
lim(x→-1-) 1/x(x-1)=-∞，
lim(x→-1+) 1/x(x-1)= +∞，
lim(x→1-) 1/x(x-1)=-∞，
lim(x→1+) 1/x(x-1)= +∞，
5.函数的奇偶性
因为f(x)=1/x(x-1),所以f(-x)=1/{(-x)*[(-x)-1]}，即：
f(-x)=-1/x(x-1)=-f(x).所以函数为奇函数，关于原点对称。