§5.2 函数的一些重要性质

对比一下函数y=x^2和函数y=x^3的图象（图5.4)，不难看到它们具有一些不同的性质，例如：

函数 y =x^2的图象关于 y 轴对称，但函数 y=x^3 的图象则关于原点对称。

函数 y=x^2的图象，在 y 轴的左边是从左到右逐渐下降的，在 y 轴的右边则是从左到右逐渐上升的，但函数 y=x^3的图象则是自左到右始终上升的。

函数 y=x^2的图象，在x轴的上方，从原点起在 y 轴的两侧同时向上无限伸展，但是函数 y=x^3的图象则从原点起向左下方和右上方无限伸展的．

下面我们来研究函数的这些性质．

1．偶函数和奇函数

函数 y=x^2的图象关于 y 轴是对称的。我们把具有这种特征的函数叫做偶函数． f(x)是偶函数的标志是：当自变量x取一对互为相反的数的值时，函数的值不变，就是 f(-x)=f(x).

函数y=x^3的图象关于原点是对称的。我们把具有这种特征的函数叫做奇函数。f(x)是奇函数的标志是：当自变量取一对互为相反的数的值时，函数的值也是互为相反的数，就是f(-x)=-f(x).

奇函数和偶函数的定义：

一般地说，对于函数f(x)，设x与-x都属于函数的定义域，如果f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。

函数奇偶性的判定：

函数的奇偶性是函数的一个重要性质，它的判定方法可以直接根据奇函数和偶函数的定义：对于定义在区间(a，b)内的函数f(x)，如果有

(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；

(2) f(-x)=f(x).

那么函数f(x)是偶函数。

如果有

(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；

(2) f(-x)=-f(x).

那么函数f(x)是奇函数。

如果有

(1) x和-x都在定义区间(a，b)内；

(2) f(-x)≠±f(x).

那么函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。

注意：如果上述两个条件中有一个条件不满足，就可以断定函数f(x)没有奇偶性。我们在利用奇函数和偶函数的定义进行奇偶性的判定时，要充分利用给定函数式的各种初等运算的已知性质，并进行一定的恒等变形。

例1 下面这些函数，哪些是奇函数？哪些是偶函数？

(1) f(x)=x+x^2；(2) f(x)=x^3+x；(3) f(x)=x+1.

【解】(1)对于f(x)=x+x^2，我们有

f(-x)=(-x)+(-x)^2=x+x^2=f(x)，

∴函数f(x)=x+x^2是偶函数。

(2)对于f(x)=x^3+x，我们有

f(-x)=(-x)^3+(-x)=-(x^3+x)

=-f(x)，

∴函数f(x)=x^3+x是奇函数。

(3)对于f(x)=x+1，我们有

f(-x)=-x+1.

这里f(-x)≠±f(x)。

∴函数f(x)=x+1既不是奇函数，也不是偶函数。

注 考察一个函数是偶函数、奇函数，或者既不是偶函数也不是奇函数 叫做研究函数的奇偶性。对于一个奇函数或者偶函数，要了解它的性质和图象，只要了解当自变量取正值时的性质和图象就可以了。例如，要作函数y=x^3的图象，因为它是奇函数，所以只要作出自变量取正值时的函数图象，就可以利用奇函数的图象必定关于原点对称这一特点，作出自变量取负值时的图象。

例2 假定下面的函数都在定义区间(a，b)内，求证：

(1) 两个偶函数的和是偶函数；

(2) 两个奇函数的和是奇函数；

(3) 两个偶函数的乘积是偶函数；

(4) 两个奇函数的乘积是偶函数；

(5) 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

证明：设f(x)，f(x)为偶函数，g(x)，g(x)为奇函数。记f(x)+g(x)=(f+g)(x)，f(x)·g(x)=(f·g)(x)。

由假设可知，x和-x都在函数的定义是区间(a，b)内。

(1) ∵(f+f)(-x)=f(-x)+f(-x)

=f(x)+f(x)

=(f+f)(x)，

∴f(x)+f(x)是偶函数，

即两个偶函数的和是偶函数。

(2) ∵(g+g)(-x)=g(-x)+g(-x)

=-g(x)-g(x)

=-[g(x)+g(x)]

=-(g+g)(x)，

∴g(x)+g(x)是奇函数，

即两个奇函数的和是奇函数。

(3) ∵(f·f)(-x)=f(-x)·f(-x)

=f(x)·f(x)

=(f·f)(x)，

∴f(x)·f(x)是偶函数，

即两个偶函数的乘积是偶函数。

(4) ∵(g·g)(-x)=g(-x)·g(-x)

=[-g(x)]·[-g(x)]

=g(x)·g(x)

=(g·g)(x)，

∴g(x)·g(x)是偶函数，

即两个奇函数的乘积是偶函数。

(5)∵(f·g)(-x)=f(-x)·g(-x)

=f(x)·[-g(x)]

=-[f(x)·g(x)]

=-(f·g)(x)，

∴f(x)·g(x)是奇函数，

即偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

习题 5.2(1)

1.下面这些函数中，哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？

2.二次函数y=ax^2+bx+c在什么条件下才是偶函数？它能不能是奇函数？

拓展阅读

以后我们会学习三角函数的基本性质，其中包括了奇偶性。

三角函数的基本性质都是指的初等性质。在以后学习了微分和导数后，我们将知道，三角函数还具有连续性和可导性，这两个性质叫做三角函数的分析性质。

三角函数的奇偶性：由三角函数的诱导公式可知，对任意x值，总有

sin(-x)=-sin x，cos(-x)=cos x

tan(-x)=-tan x，

cot(-x)=-cot x.

所以，正弦函数y=sin x，正切函数y=tan x和余切函数

y=cot x都是奇函数，而余弦函数y=cos x是偶函数。

正弦函数和余弦函数的图象见下图。

由函数图象可以直观看出函数的奇偶性。

上期链接：

https://m.toutiao.com/is/ircUvN7c/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(20)利用二次函数的图象解一元二次方程 - 今日头条
https://m.toutiao.com/is/ihH465QY/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(21)利用二次函数的图象解一元二次不等式 - 今日头条
https://m.toutiao.com/is/iB73HhUu/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(22)一元二次不等式的解的讨论 - 今日头条
https://m.toutiao.com/is/iSvegpUC/ - 百科漫谈：名师彻底讲透初等函数(23)有理指数的幂函数y=x^3 - 今日头条

下期预告：名师彻底讲透初等函数(25)函数的有界性

2.有界函数和无界函数

函数y=x^2的图象总是在x轴的上方，就是说，函数值总不小于0.我们把具有这种特征的函数叫做有下界的函数。同样，y=-x^2的图象总是在x轴的下方，就是说，函数值总不大于0.我们把具有这种特征的函数，叫做有上界的函数。

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