抽丝剥茧，详细解析初中数学题418

418:已知函数y=x+√(1-2x)，求y的取值范围。

解析:1.这是一道求值域问题，我们首先确定函数的定义域，由题意可知，

1-2x≥0，则x≤1/2。

2.方法一:采用换元法

令t=√(1-2x)(t≥0)，

则t^2=1-2x，x=(1-t^2)/2，①

将①代入原函数可得：

y=(1-t^2)/2 + t

=1-(t-1)^2/2，

因为(t-1)^2/2≥0，

所以-(t-1)^2/2≤0，

所以1-(t-1)^2/2≤1，

所以y≤1。

3.方法二：采用判别式法

由y=x+√(1-2x)可得，

y-x=√(1-2x)，

两边平方得，

y^2-2xy+y^2=1-2x，

即x^2+2(1-y)x+y^2-1=0;②

因为x是实数，

所以对于②，

必有△=[2(1-y)]^2-4(y^2-1)≥0，

即4-8y+4y^2-4y^2+4≥0

-8y+8≥0，

y≤-1。

故，y的取值范围是y≤1。

小结:⑴此题也可以用配方法，你可以去试一试，但相对比较麻烦。对比一下，用换元法思路清晰，简便快捷。