求函数的值域方法很多，不管你用什么方法，首先要关注函数的定义域。定义域不同，值域往往是不同的。

①观察法：如X^2≥0；1/x≠0；一些基本初等函数等；

②换元法：含有根式的换元去根号；有重复出现的代数式也可换元代简。换元法一定要记住新“元"的范围，否则极易出错。换元后通常转化为二次函数问题。

③配方法：解二次函数类型题常用配方法，一般要求出在给定区间内的值，所以是一个很头疼的问题。前面初高中衔接内容讲过，有兴趣的同学可以看看哟。

④分离常数法：对于分子分母有关于x的同次式常用此法化难为易。如y=(x+2)/(X一1)=(x一丨+3)/(x一1)=1+3/(X一1)，化为一个整数和一个分子为常数的分式；

⑤单调性法：依据单调性确定函数的增减求值域是高中数学常用方法。

⑥数形结合法：画出函数的图象观察，找出取值范围。

⑦判别式法：有些分式函数对任意X恒成立，可以转化为二次函数，利用△求解。但一定要注意条件：是对任意x都成立。

求下列函数的值域。

1、y=1/(1+x^2)

解：因为X∈R，所以X^2≥0，x^2+1≥1，所以0<1/(1+X^2)≤1，所以函数的值域为(0，1]。一一观察法。

另解：设1+X^2=t(t≥1)，则y=1/t，因为y=1/t在[1，+∞)上是减函数，所以0<y≤1，故所求函数的值域为(0，1]。一一单调性法。

2、f(X)=2X+√(1+2X)

解：设1+2X=t^2，t≥0，则2X=t^2一1，函数变换为y=t^2一1+t，

y=t^2+t一1=(t+1/2)^2一5/4，函数y在[0，+∞)上是增函数，当t=0即X=一1/2时取得最小值一1，所以y≥一1，故函数的值域为[一1，+∞)。

此题用换元法，转化为关于t的二次函数后再用单调性法求解。易错一：换元后t的取值范围不求出或求错；易错二：转化为二次函数后不管t的范围得到≥一5/4。纠错方法为①只要换元，必须确定新“元"范围；二次函数求值域先画出大致图象观察增减，然后得出取值范围。

3、f(X)=√(X^2一2X+3)

4、f(x)=√(X^2一2X一3)

[分析]这两题极为相似。第3题(X一1)^2+2≥2；第4题(X一1)^2一4≥一4，但作为二次根式的被开方数，只能是≥0，如若不注意二次根式的意义，就会出错。有学生就求得y≥根号一2。

3解：∵X^2一2X+3=(X一1)^2+2≥2

∴√(X^2一2X+3)≥√2

故函数的值域为[√2，+∞)

4解：∵X^2一2X一3=(X一1)^2一4

∴√(X^2一2X一3)≥0

故函数的值域为[0，+∞)。

5、f(X)=(X一1)/(4X+2)

6、f(X)=(X^2一1)/(X^2+1)

7、f(X)=(X^2一4X+3)/(2X^2一X一1)

8、f(x)=(2X^2+4X一7)/(X^2+2X+3)

这一组题目都是分式函数，那么求值域的方法有什么不同呢？

[思路探寻]第5、6题根据分子分母的特点，可采用分离常数法。分离常数法实际上是"换元法"的思想，化难为易。

5[解析]

f(X)=1/4(4X+2一6)/(4X+2)

=1/4一3/2(4X+2)≠1/4

6[解析]f(X)=(X^2一1)/(X^2+1)=(X^2+1一2)/(X^2+1)=1一2/(Ⅹ^2+1)

∵X^2+1≥1，∴0<1/(X^2+1)≤1

∴一2≤一2/(X^2+1)<0

∴一1≤1一2/(X^2+1)<1

故函数的值域为[一1，1)

另解：设Ⅹ^2+1=t(t≥1)，y=1一2/t

∵y=1一2/t在[1，+∞)上单调递增

∴y≥一1，又y<1，∴一1≤y<1

第6题利用函数的单调性极易错求为y≥一1。y=1一2/x是由反比例函数变换而来，结合函数的图象，观察取值范围是最好的方法。

7、定义域为{X丨X≠一1/2且X≠1}

f(x)=(X一1)(X一3)/(2X+1)(X一1)

=(X一3)/(2X+1)=1/2一7/2(2X+1)

≠1/2

由定义域X≠1，当X=1时，

f(X)=(X一3)/(2X+1)=一2/3

∴f(X)≠一2/3

故函数的值域为(一∞，一2/3)∪(一2/3，1/2)∪(1/2，+∞)

8、解法一：分离变量法。(略)

解法二：判别式法。

函数的定义域为R，

令y=(2X^2+4X一7)/(Ⅹ^2+2X+3)

去分母并整理得

(y一2)X^2+(2y一4)X+7+3y=0

显然y=2时不成立。当y≠2时，

△=4(y一2)^2一4(y一2)(7+3y)≥O

(y一2)(2y+9)≤O，一9/2≤y<2。故函数的值域为{y|一9/2≤y<2}。

运用判别式法一定要确定是一元二次方程才能行。当y≠2时，关于X的一元二次方程有实根，等价于判别式△≥0，当y=2时方程不成立。故y≠2。

函数的定义域和解析式确定，函数的值域随之确定。解析式不同，求值域的方法也不同。其中化为二次函数求值域和利用函数的单调性及数形结合法求值域是最常见的方法。需牢牢掌握。

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