一、选择题 共40分

1. 若集合M={x|√x <4},N={x|3x≥1}，则M∩N=

A. {x|0≤x<2} B. {x|1/3≤x<2} C. {x|3≤x<16} D. {x|1/3≤x<16}

解析：由题意知，x=9∈(M∩N)，排除AB,x=1/3∈(M∩N)，排除C

选择D

2.若i(1-z)=1，则z+z=

A. -2 B.-1 C.1 D.2

解析：i(1-z) =1,-(1-z)=i,z=1+i,z与z共轭的和是2

选择D

3. 在△ABC中，点D在边BC上，BD=2DA，记CA=m，CD=n，则CB=

A. 3m-2n B. -2m+3n C. 3m+2n D. 2m+3n

解析：

AD^2=m^2+n^2-2|m||n|cosC

BD=2DA

∴BD^2=4DA^2= 4m^2+4n^2-8|m||n|cosC

BD^2=4m^2+4n^2-8 mn

=4(m^2-mn+n^2-mn)

=4(m-n)^2

CB=n+DB

CB=2m-n或-2m+3n

选择B

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺的问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km^2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km^2，将该水库在这两个水位之间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为( )(√7≈2.65)

A. 1.0×109m^3 B. 1.2×109m^3 C. 1.4×109m^3 D. 1.6×109m^3

解析：当深度在中间4.5m时

水面的面积为

[√(1.4×108)+ √(1.8×108)]^2/4

=0.8×108+√(7×0.09)×108

=0.8×108+0.3√7×108

≈1.595×108

那么可知水量要大于1.595×108×4.5+1.4×108×4.5≈1.35×109

要小于1.595×108×4.5+1.8×108×4.5≈1. 53×109

选择C

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3

解析：

第一类，随机2个数中含有2：互质有3组

第二类，随机2个数中不含2含有3：互质有4组

第三类，随机2个数中不含2,3含有4：互质有2组

第四类，随机2个数中不含2,3,4含有5：互质有3组

第五类，随机2个数中不含2,3,4,5含有6：互质有1组

第六类，随机2个数中不含2,3,4,5,6含有7：互质有1组

因此互质的概率为(3+4+2+3+1+1)/C27=2/3

选择D

6.记函数f(x)=sin(ωx+0.25π) +b (ω>0) 的最小正周期为T，若2π/3<T<π，且y=f(x)的图像关于点(1.5π,2)中心对称，则f(0.5π)=

A. 1 B. 1.5 C. 2.5 D. 3

解析：根据f关于点(1.5π,2)中心对称知sin(1.5ωπ+0.25π)=0，b=2

那么ω=-1/6+2k/3，根据T的关系可知ω=2.5

那么f(0.5π)=1

选择A

7.设a=0.1e^0.1，b=1/9，c=-ln0.9，则( )

A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b

解析：a,b,c都是正数，b=ln e^(1/9),c=ln(10/9)

观察e^(1/9)与10/9，知

∵e=lim(1+1/x)^x>(1+1/9)^9

∴b>c

或者

(1+1/9)^9<2+4/9+ C(3,9)/729+ C(4,9)/9^4 + C(5,9)/9^5+ 5C(6,9)/9^6

(1+1/9)^9<2.444+0.14+0.008≈2.592<e

因此，c<b，排除A

10a= e^0.1,10b=10/9

观察e^0.1与10/9，知

(1+1/9)^10>1+10/9+45/81+120/3^6+210/3^8+1260/3^10+70/3^11

(1+1/9)1^0>2.666666+0.1975+0.0001≈2.8642>e

因此b>a，排除B

a=0.1 e^0.1,c=-ln0.9

设f(x)=xe^x+ln(1-x)

当1>x>-1时，f’=[(1-x^2)e^x-1]/(1-x)

观察1-x^2与函数e^(-x)

当x=0.5时，1-x^2>e^(-x)

所以当x<0.5时, 1-xex>1,f’>0单调增

f(0.1)>f(0)

a>c，排除D

选择C

8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且

3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )

A.[18,81/4] B. [27/4,81/4] C. [27/4,64/3] D. [18,27]

解析：根据题意可知球的半径r=3

根据题意，当l取值为3√3时，对棱截面为正三角形，那么此时四棱锥的高为4.5，底面积为27/2，那么体积为1/3×27/2×4.5=81/4

当高为4时，l^2=8+16=24，体积为16×4/3=64/3>81/4，排除AB

当l取值为3时，对棱截面是顶角为120°的等腰三角形，那么此时四棱锥的高为1.5，底面积为27/2，那么体积为1/3×27/2×1.5=27/4

选择C

二、选择题(多项) 共20分

9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则

A. 直线BC1与DA1所成的角为90° B. 直线BC1与CA1所成的角为90°

C. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

解析：A选项正确，异面垂直，B选项正确，与射影垂直，就与直线垂直

C选项错误，作垂线可得所成的角为30°，D选项正确，通过对角线正好可以算出所成角

选择ABD

10.已知函数f(x)=x^3-x+1，则

A．f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点

C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

解析：

f’(x)=3x^2-1在导数为0的点处异号，A正确

当取小值点x=1/√3时，f(x)>0，因此只有一个零点，B错误

1-f(t)=- t^3+t

f(t)-1= t^3-t

互为相反数，C正确

令f’(x)=2，得x=1或-1，而直线y=2x过点(1,2)和(-1,-2),f(1)=1,f(-1)=-1

因此D错误

选择AC

11. 已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C: x^2=2py (p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则

A. C的准线为y=-1 B. 直线AB与C相切

C. |OP|·|OQ|>|OA|^2 D. |BP|·|BQ|>|BA|^2

解析：根据点A在C上可以求出抛物线方程为x^2=y，准线为y=-0.25，A错误

将直线AB方程带入抛物线得x^2=2x-1，判别式Δ=0，B正确

设直线BQ方程为y=kx-1，带入得x^2-kx+1=0

|OP|^2·|OQ|^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)

= x1^2x2^2+ x1^2y2^2+ x2^2y1^2+ y1^2y2^2

= x1^2x2^2+ x1^2x24+ x2^2x14+ x14x24

= x1^2x2^2(1+x1^2+ x2^2+ x1^2x2^2)

=2+(x1+ x2)^2-2x1x2

=k^2

|OP|·|OQ|>2

|OA|^2=2

C正确

|BP|^2·|BQ|^2=[x1^2+(y1+1)^2][x2^2+(y2+1)^2]

=(x1^2+y1^2+1+2y1)(x2^2+y2^2+1+2y2)

=(3x1^2+x14+1)(3x2^2+x24+1)

=9+ 3x2^2+3x1^2+3x1^2+1+ x14+3x2^2+x24+1

= 11+6(x1+x2)^2-12+(x1^2+x2^2)^2-2

=-3+6k^2+(k^2-2)^2

=k4+2k^2+1

|BP|·|BQ|=k^2+1>5

|BA|^2=5

D正确

选择BCD

12.已知函数f(x)及其导函数f’(x)的定义域均为R，记g(x)=f’(x)，若f(1.5-2x)，g(2+x)均为偶函数，则

A． f(0)=0 B. g(-0.5)=0 C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2)

解析：根据题意f(1.5-2x)=f(1.5+2x)，x=1.5是对称轴，C正确

g(2+x)=g(2-x)，x=2是g的对称轴

f(x)=cos[π(x-1.5)]+1时满足题意

此时f(0)=1，g(-0.5)=0，g(-1)≠g(2)，AD错

选择BC

三、填空题 共20分

13.(1-y/x)(x+y)^8的展开式中x^2y^6的系数为____ (用数字作答)

解析：原式=(x+y)^8-y(x+y)^8/x

(x+y)^8中x^2y^6的系数为，C(6,8)=28

-y(x+y)^8/x中x^2y^6的系数为，-C(5,8)=-56

填-28

14.写出与圆x^2+y^2=1和(x-3)^2+(y-4)^2=16都相切的一条直线方程____

解析：一个是单位圆，一个是半径为4圆心为(3,4)的圆，发现两圆相切

那么与圆心连线垂直的就是一条切线，切点为(0.6,0.8)，斜率为-0.75

填y=-0.75x+1.25

15.若曲线y=(x+a)e^x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____

解析：y’=(x+a+1)e^x，当x=-a-1<0时取极小值，此时y=- e^(-a-1)<0

此时当x=0时，要y>0才存在两条切线，即a>0且-a-1<0，即a>0

填a>0

16.已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为0.5，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是____

解析：根据离心率是0.5，可设DE的方程为y=x/√3+c/√3，那么

%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%20(%7Bx%5Cover%5Csqrt%203%7D%2B%7Bc%5Cover%20%5Csqrt%203%7D%5Cright%20)%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-1%3D0%20

13x%5E2%2B8cx-32c%5E2%3D0

x_1-x_2%3D%5Cfrac%7B24%5Csqrt%203%7D%7B13%7Dc

(x_1-x_2)%5E2%2B(y_1-y_2)%5E2%3D36

(x_1-x_2)%5E2%2B%5Cfrac%7B(x_1-x_2)%5E2%7D%7B3%7D%3D36

c%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B8%7D

x_1%3D%5Cfrac%7B-1%2B3%5Csqrt%203%7D%7B2%7D

x_2%3D%5Cfrac%7B-1-3%5Csqrt%203%7D%7B2%7D

AD%5E2%20%3D%7Bx_1%7D%5E2%2B%5Cleft%20(%5Cfrac%7Bx_1%7D%7B%5Csqrt%203%7D%20%2B%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Csqrt%203%7D%20-b%20%5Cright%20)%5E2%0A%3D%5Cfrac%7B223-84%5Csqrt%203%7D%7B16%7D

AD%3D%5Cfrac%7B14-3%5Csqrt%203%7D%7B4%7D

同理

AE%3D%5Cfrac%7B14%2B3%5Csqrt%203%7D%7B4%7D

填13

四、解答题 共70分

17.(10分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，{Sn/an}是公差为1/3的等差数列

(1)求{an}的通项公式

(2)证明:1/a1+1/a2+…+1/an<2

解析：(1)

%5Cfrac%7BS_n%7D%7Ba_n%7D%3D1%2B%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B3%7D

S_n-S_%7Bn-1%7D%3Da_n

化简可得

%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn-1%7D

%5Cprod%20_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Ba_%7Bk%2B1%7D%7D%7Ba_k%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Bk%2B2%7D%7Bk%7D

a_n%3D%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D

(2)

%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Ba_k%7D%3D2%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5Ctimes%20(k%2B1)%7D

%3D2%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cleft%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%2B1%7D%5Cright%20)

%3D2%5Cleft%20(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%20%5Cright%20)%3C2

18.(12分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知cosA/(1+sinA)=sin2B/(1+cos2B)

(1)若C=2π/3，求B

(2)求(a^2+b^2)/c^2的最小值

解析：

(1)

%5Cfrac%7B%5Ccos%20A%7D%7B1%2B%5Csin%20A%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20%7B2B%7D%7D%7B1%2B%5Ccos%20%7B2B%7D%7D

%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Cleft%20(%7B%5Cpi%5Cover%203%7D-B%20%5Cright%20)%7D%7B1%2B%5Csin%20%5Cleft%20(%7B%5Cpi%5Cover%203%7D-B%20%5Cright%20)%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20B%7D%7B%5Ccos%20B%7D

%5Ccos%20%5Cleft%20(%7B%5Cpi%5Cover%203%7D-B%5Cright%20)%5Ccos%20B-%5Csin%20%5Cleft%20(%7B%5Cpi%5Cover%203%7D-B%5Cright%20)%5Csin%20B%3D%5Csin%20B

B%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D

(2)由(1)得

%5Csin%20B%3D%5Ccos%20%5Cleft%20(%5Cpi%20-C%20%5Cright%20)

%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2BB%3DC

A%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-2B

由正弦定理

%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E2A%2B%5Csin%5E2B%7D%7B%5Csin%5E2C%7D

%3D2(1%2B%5Ccos%7B2B%7D)%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B1%2B%5Ccos%20%7B2B%7D%7D-5

%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%5Cge2%5Csqrt%7B2(1%2B%5Ccos%7B2B%7D)%5Ccdot%5Cfrac%7B4%7D%7B1%2B%5Ccos%7B2B%7D%7D%7D-5

%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%5Cge4%5Csqrt%202%20-5

经计算，取等号时

%5Ccos%20%7B2B%7D%3D%5Csqrt%202-1

19.(12分) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2√2

(1)求A到平面A1BC的距离

(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值

19题图

解析：

(1)设三棱锥A1-ABC的体积为V，可知V=4/3

那么A到平面A1BC的距离为4/2/√2=√2

(2)取A1B的中点E，过E作EF⊥BD于F，连接EF

辅助线

∵AA1=AB,E是A1B的中点

∴AE⊥A1B

又平面A1BC⊥平面ABB1A1

∴AE⊥平面A1BC

AE=√2

∵EF⊥BD

∴BD⊥AF

∠EFA是所求二面角的补角

∵AE⊥BC, B1B⊥BC

∴BC⊥平面ABB1A1

∠A1BC =90°

A1A=2

△ABC的面积为4/2=2

AB=2，BC=2×2/2=2

A1B=2√2

∵D为A1C的中点

∴tan∠BA1C=tan∠FBE=1/√2

EF=BEsin∠FBE=√2/√3

tan∠EFA=√2/(√2/√3)=√3

∴所求正弦值为√3/2

20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

| 不够良好| 良好

病例组 | 40 | 60

对照组 | 10 | 90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异

(2)从该地区的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示“选到的人患有该疾病”，P(B|A)/P(B|A)与P(B|A)/P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患有该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R

①证明：R= P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)

②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值

附：Κ^2=n(ad -bc)^2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

P(Κ^2≥κ) | 0.050 | 0.010 | 0.001

κ | 3.841 | 6.635 | 10.828

解析：

(1)

K%20%5E2%3D%5Cfrac%7B200%5Ccdot%20(40%5Ccdot%2090-60%5Ccdot%2010)%5E2%7D%7B(40%2B60)(10%2B90)(40%2B10)(60%2B90)%7D

%3D24%3E10.828

∴ 有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异

(2)

P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8 ,P(B|A)=0.2, P(B|A)=P(BA)/ P(A)=60/150=0.4

①P(B|A)=P(BA)/P(A)=90/150=0.6

∴R=P(B|A)/P(B|A)÷[P(B|A)/P(B|A)]=0.8/0.2÷(0.4/0.6)=6

∵P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.6, P(A|B)=0.9

P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1

∴P(A|B)/P(A|B)·P(A|B)/P(A|B)=6

R=6

②由①得R的估计值是6

21.(12分) 已知点A(2,1)在双曲线C:x^2/a^2- y^2/(a^2-1)=1 (a>0)上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0

(1)求l的斜率

(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积

解析：(1)设AP,AQ的方程为y=kx+1-2k,y=-kx+1+2k，A在双曲线上，分别代入有

%5Cfrac%7B4%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2-1%7D%3D1

a%3D%5Csqrt%202

C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D-y%5E2%3D1

%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D-k%5E2x%5E2-2(1-2k)kx-(1-2k)%5E2%3D1

x_P%3D%5Cfrac%7B-(1-2k)%5E2-1%7D%7B2%5Cleft%20(%7B1%5Cover%202%7D-k%5E2%5Cright%20)%7D%3D%5Cfrac%7B(1-2k)%5E2%2B1%7D%7B2k%5E2-1%7D

同理

x_Q%3D%5Cfrac%7B(1%2B2k)%5E2%2B1%7D%7B2k%5E2-1%7D

%5Cfrac%7By_Q-y_p%7D%7Bx_Q-x_p%7D%3D%5Cfrac%7B-k(x_Q%2Bx_p)%2B4k%7D%7Bx_Q-x_p%7D%3D-1

(2)由于AP,AQ斜率和为0，且tan∠PAQ=2√2，设k>0有

%5Cfrac%7B2k%7D%7B1-k%5E2%7D%3D2%5Csqrt%202

k%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%202%7D%7B2%7D

根据渐近线斜率，舍

%5Cfrac%7B2k%7D%7B1-k%5E2%7D%3D-2%5Csqrt%202

k%3D%5Csqrt%202

根据(1)

x_P%3D%5Cfrac%7B10-4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D

y_P%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%202-8%7D%7B3%7D%2B1

1-y_P%3D%5Cfrac%7B8-4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D

2-x_P%2B1-y_P%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D

S_P%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B8-4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B16-8%5Csqrt%202%7D%7B9%7D

同理

x_Q%3D%5Cfrac%7B10%2B4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D

y_Q%3D%5Cfrac%7B-8-4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D%2B1

S_Q%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B8%2B4%5Csqrt%202%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B16%2B8%5Csqrt%202%7D%7B9%7D

S_%7B%5Ctriangle%20PAQ%7D%3DS_Q%20-S_P%3D%5Cfrac%7B16%5Csqrt%202%7D%7B9%7D

22.(12分) 已知函数f(x)=e^x-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值

(1)求a

(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列

解析：(1)由于a≤0时不满足条件，因此a>0

f’(x)= e^x-a

f在x=ln a时取最小值

g’(x)=a-1/x

g在x=1/a时取最小值，若有相同最小值，那么

a-alna=1-ln(1/a)

a=1

(2)根据图像知，f与g，存在交点，并且此时y=b与两函数图像将出现三个不同交点

那么有

e^x-x=b

x-lnx=b

设共同交点横坐标是m

设函数h(t)= e^(m-t)-(m-t)-[(m+t)-ln(m+t)]

h(t)= e^(m-t)-2m+ ln(m+t)

当t很大时h(t)>0

h’= -e^(m-t)+1/(m+t)

根据增减趋势，设当t=u∈(-m,0)时h’=0

t<u时e^(m-t)<1/(m+t)

h’>0

设当t=v>0时h’=0

t>v时e^(m-t)<1/(m+t)

h’>0

当t∈(u,v)时, e^(m-t)>1/(m+t)

h’<0

t=u取极大值，t=v取极小值

又t=0∈(u,v)时，h=0

∴h(t)=0至少存在两个根，除了t=0以外出现一个根满足h(t)=0，就满足题意

因此存在这样的直线y=b