### 三角函数：数学中的基础与广泛应用

#### 1. 引言

三角函数是数学中的基本函数之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它们描述了直角三角形中边与角的关系，并在周期性现象的分析中扮演重要角色。

#### 2. 基本定义

在直角三角形中，常见的三角函数包括：

- **正弦（sin）**：对边与斜边的比值。

- **余弦（cos）**：邻边与斜边的比值。

- **正切（tan）**：对边与邻边的比值。

此外，还有余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）等函数。

#### 3. 单位圆与三角函数

单位圆是半径为1的圆，三角函数可以通过单位圆上的点坐标来定义：

- 对于任意角度θ，点 (cosθ, sinθ) 在单位圆上。

- 正切函数 tanθ 表示通过原点的直线斜率。

#### 4. 三角函数的性质

- **周期性**：sin 和 cos 的周期为 2π，tan 的周期为 π。

- **奇偶性**：sin 是奇函数，cos 是偶函数，tan 是奇函数。

- **和差公式**：如 sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB。

#### 5. 应用领域

- **几何**：用于计算三角形边长和角度。

- **物理**：描述振动、波动等周期性现象。

- **工程**：在信号处理、结构分析中不可或缺。

- **计算机图形学**：用于旋转、缩放等图形变换。

#### 6. 扩展与高级概念

- **反三角函数**：如 arcsin、arccos、arctan，用于求解角度。

- **复数与三角函数**：欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + isinθ 连接了三角函数与复数。

- **傅里叶分析**：将复杂信号分解为简单正弦波的叠加。

#### 7. 结论

三角函数不仅是数学的基础工具，还在多个领域中发挥着关键作用。通过深入理解其定义、性质和应用，我们可以更好地解决实际问题。

#### 参考文献

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.

- Weisstein, E. W. (2021). *Trigonometric Functions*. MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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这篇文章简要介绍了三角函数的定义、性质及其应用，适合初学者和对三角函数感兴趣的读者。