科学计算器上有三个三角函数的按键，那就是sin和cos以及tan。这是在暗示我们，虽然三角函数有六个或者八个，但是这三个三角函数的重要性不言而喻。与之对应，有大名鼎鼎如雷贯耳的正弦定理和余弦定理，那么有没有正切定理呢？当然有啦。1580年，韦达给出了一个漂亮的定理，也就是正切定理。遗憾的是，现在的教科书上已经几乎找不到它了。这个定理是说，在任何三角形中(等边三角形排除在外)：设两腰为a和b，对角为α和β，则有

这个定理可以从正弦定理a:b:c=sinα:sinβ:sinγ和三角恒等式(2)推导出来，但是在韦达那个年代，它被视为一个独立的定理。当三角形的两边及其夹角已知(SAS)的情形，这个定理可以用来解三角形。在这种情况下，我们通常会用余弦定理(c2=a2+b2-2abcosγ)来求第三边，然后再用正弦定理求出未知的角。但是由于余弦定理包含加法和减法，因此不容易用对数来做计算(在计算机发明之前，对数实际上是解三角形的唯一方法)。用正切定理就可以避开这个困难：不妨设角γ是已知的，进而求出?(α+β)利用公式(1)和正切函数表我们可以求出?(α-β)。从这两个结果可以得到角α和角β，而未知边则可以用正弦定理求出。

有了科学计算器之后，这些当然都不再需要了。或许这也解释了为什么正切定理失去了大部分的吸引力。不过，它简洁对称的形式使它从遗忘中重生。即使不作为定理，也可以当中习题。

对于那些喜欢玩弄数学谬误，喜欢用错误的方法得到正确结果的人(例如非法约分16/64)，正切定理提供了实验机会：从公式(1)的右边开始，消去?和tan，然后把希腊字母用相应的拉丁字母替换，就可以得到左边。

以上内容引自《三角之美：边边角角的趣事》，作者是[以色列]伊莱·马奥尔，译者是曹雪林和边晓娜，人民邮电出版社2018.12

推导正切定理

发现了杠杆原理的阿基米德骄傲地宣称：给我一个支点，我能撬动地球。

凡事都需要一个支点。我们推导韦达发现的正切定理也需要一个支点，那就是大家熟悉的正弦定理。

中学的比例理论大家是否还记得？

应用对应项的和差比例法则及加法定理，我们可以推出：

分子和分母同时除以下图所示的表达式，

就得到关于边a和b的正切公式，用循环置换得到其余几对边之间的相应公式：

在上面的公式中，tan?(α-β)是未知数，其余三项都是已知数，所以常用下面的公式解题：

从两条边(例如a和b)以及夹角(例如γ)就可以使用以上公式求得其余两个角(α和β)：α和β的半角和

由夹角给出，而半角差?(α-β)由正切定理给出，从半角和?(α+β)=ξ和半角差?(α-β)=η，就得到α=ξ+η，和β=ξ-η。

正切定理的应用

在三角形ABC中，已知两边和夹角，可以使用余弦定理或正切定理解三角形。

在三角形ABC中，已知b、c和α的值，那么由余弦定理给出a2=b2+c2-2bccosα，并得到唯一的值

从余弦定理也能唯一地定出角β，即从

可定出β。但是一般我们使用正弦定理

来得到β，满足这个方程的两个角β?和β?中只有一个角适合于几何条件。

根据三角形内角和定理得到

并由正切定理得到

就能求出角β和角γ的值。用正弦定理能定出第三条边的值：

【例题】R和S两地之间沿着直线敷设一条电缆。因两地之间有一片林区，使它们不能互相看到。但能找到一点A，可测出A跟这两地的距离分别是

d=|AR|=2.473英里和e=|AS|=3.752英里，以及夹角τ=∠RAS=42°26′10″(见图11.2-5)，问电缆的长度x应为多少，以及从R，S应该分别沿着什么角度ε，δ敷设才行？为了进行比较，给出两种解法：

这两个结果有些不一致。其原因(在导论中详细讨论过)是在90°邻域里，由正弦函数的值来确定角度时精度较差：sin96°40′00″=0.99324，sin96°40′10″=0.99323，sin96°40′20″=0.99323；根本定不出秒的数值是多少。在这种情况下，如果用余弦定理来计算角度ε，就能够得到较高的精度。我们得到唯一的值cosε=-1.464462/2(2.549)(2.473)或者ε?=96°40′14″，这就跟从正切定理得到的值相当接近。因此从余弦定理得到的解是：x=2.549英里，ε?=96°40′14″，δ?=40°53′36″。

例题选自德国1975年出版的《简明数学全书》(Ⅰ.基础数学)，本书由上海科学技术出版社1981年引进出版。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。