在高中数学的知识体系里，三角函数是极为重要的部分，在各类考试中频繁出现。选择题作为常见题型，虽然单个分值不算高，但因其数量多，总体占分比重可观。掌握快速有效的解题技巧，不仅能提高答题效率，还能为攻克后面的难题节省时间。今天就给大家分享 5 个能秒杀三角函数选择题的技巧，助你考试时节省 20 分钟！

技巧一：特殊值法

特殊值法是三角函数选择题中非常实用的技巧。三角函数的一些性质在特殊角度下表现得尤为明显，我们可以利用这一点来快速解题。

比如，当题目中没有限定角的范围，且所求结果是一个确定的值时，我们可以选取一些特殊角度，如 0°、30°、45°、60°、90° 等代入进行计算。

例题：已知\(\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\)，则\(\tan\alpha\)的值为（ ）

A. 1 B. -1 C. \(\sqrt{3}\) D. -\(\sqrt{3}\)

分析：直接求解\(\alpha\)的值再计算\(\tan\alpha\)比较复杂。我们可以尝试特殊值法，因为\(\sin45?° = \cos45?° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，将\(\alpha = 45?°\)代入\(\sin\alpha + \cos\alpha\)中，\(\sin45?° + \cos45?° = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)，满足已知条件。此时\(\tan45?° = 1\)，所以答案选 A。

易错点：选取的特殊值要满足题目中的所有条件，并且要注意特殊值的范围是否符合题意，避免因为特殊值选取不当导致错误。

技巧二：利用三角函数的性质

三角函数具有众多性质，如周期性、奇偶性、单调性等，这些性质在解题时能发挥关键作用。

例如，正弦函数\(y = \sin x\)是奇函数，周期为\(2\pi\)，在\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)上单调递增；余弦函数\(y = \cos x\)是偶函数，周期为\(2\pi\)，在\([0, \pi]\)上单调递减。

例题：函数\(y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（ ）

A. \(\pi\) B. \(2\pi\) C. \(\frac{\pi}{2}\) D. \(4\pi\)

分析：根据正弦函数\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)的最小正周期公式\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)，在函数\(y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)中，\(\omega = 2\)，所以\(T = \frac{2\pi}{2} = \pi\)，答案选 A。这里就是利用了正弦函数的周期性质来快速解题。

易错点：在运用性质时，要准确记忆公式和性质的条件，像周期公式中\(\omega\)的位置和计算方式不能记错。

技巧三：图像法

三角函数的图像直观地展示了函数的各种性质，通过画出函数图像，能快速解决一些与函数性质、取值范围等相关的选择题。

比如，对于\(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的图像，我们要非常熟悉它们的形状、对称轴、对称中心等关键特征。

例题：函数\(y = \sin x - \cos x\)在\([0, 2\pi]\)上的图像与\(x\)轴的交点个数为（ ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

分析：先将\(y = \sin x - \cos x\)变形为\(y = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})\)。然后画出\(y = \sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4})\)在\([0, 2\pi]\)上的图像，当\(y = 0\)时，即\(\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0\)，在\([0, 2\pi]\)上，\(x - \frac{\pi}{4} = 0\)，\(\pi\)，\(2\pi\)时满足，解得\(x = \frac{\pi}{4}\)，\(\frac{5\pi}{4}\)，\(\frac{9\pi}{4}\)（\(\frac{9\pi}{4} > 2\pi\)舍去），所以图像与\(x\)轴有 2 个交点，答案选 B。

易错点：在画图时，要保证图像的准确性，特别是关键的点和曲线的走势，否则容易得出错误结论。

技巧四：同角三角函数关系

同角三角函数的基本关系\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)，\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)在很多三角函数选择题中都能派上用场。

例题：已知\(\tan\alpha = 2\)，且\(\alpha\)是第一象限角，则\(\sin\alpha\)的值为（ ）

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\) C. -\(\frac{\sqrt{5}}{5}\) D. -\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

分析：由\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\)，可得\(\cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{2}\)，将其代入\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)中，得到\(\sin^{2}\alpha + (\frac{\sin\alpha}{2})^{2} = 1\)，即\(\sin^{2}\alpha + \frac{\sin^{2}\alpha}{4} = 1\)，\(\frac{5\sin^{2}\alpha}{4} = 1\)，\(\sin^{2}\alpha = \frac{4}{5}\)。因为\(\alpha\)是第一象限角，\(\sin\alpha > 0\)，所以\(\sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)，答案选 B。

易错点：在利用同角三角函数关系时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的正负。

技巧五：诱导公式

诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，简化计算过程。诱导公式的口诀 “奇变偶不变，符号看象限” 要牢记。

例题：\(\cos(\frac{11\pi}{2} + \alpha)\)的值为（ ）

A. \(\sin\alpha\) B. -\(\sin\alpha\) C. \(\cos\alpha\) D. -\(\cos\alpha\)

分析：根据诱导公式，\(\cos(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \cos(5\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha)\)。因为\(5\pi\)是\(\frac{\pi}{2}\)的偶数倍，所以函数名不变，还是\(\cos\)。再看符号，把\(\alpha\)看成锐角，\(5\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\)是第三象限角，\(\cos\)在第三象限是负的，所以\(\cos(5\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\)。又因为\(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha\)，所以\(\cos(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha\)，答案选 A。

易错点：运用诱导公式时，“奇变偶不变” 中 “奇”“偶” 的判断要准确，“符号看象限” 时一定要把\(\alpha\)看成锐角来判断原函数值的符号。

掌握了这 5 个技巧，在做三角函数选择题时就能快速找到解题思路，节省大量时间。同学们可以在平时的练习中多运用这些技巧，熟练掌握它们。

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