如下图，I为△ABC的内心，设la、lb、lc分别为△ABC的三条角平分线，则有以下等式成立：

其中R为△ABC外切圆半径。

证明一：设△ABC的内切圆半径为r，面积为S，则S=r^2cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(这个可以看我以前发的关于两个不常见的三角形面积公式的文章)。同时S=absinC/2根据正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，可得：S=2R^2sinAsinBsinC，根据倍角公式可得：

S=16R^2sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2)

=16R^2sin^2(A/2)sin^2(B/2)sin^2(C/2)cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)。根据面积相等关系可得r^2=16R^2sin^2(A/2)sin^2(B/2)sin^2(C/2)

r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)。

过I作IT⊥AB于T，则IT=r，在RT△AIT中，IT/IA=sin(A/2)，将r代入可得：4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)/IA=sin(A/2)所以IA=4sin(B/2)sin(C/2)。同理：

IB=4Rsin(A/2)sin(C/2)

IC=4Rsin(A/2)sin(B/2)所以公式一成立。

证明二：根据角分线公式：

la=2bc·cos(A/2)/(b+c)(见文末附)。

根据正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式得：

la=8R^2sinBsinCcos(A/2)/(2RsinB+2RsinC)=4RsinBsinCcos(A/2)/(sin(B/2+C/2+B/2-C/2)sin(B/2+C/2-B/2+C/2))

=4RsinBsinCcos(A/2)/(2sin(B/2+C/2)cos(B/2-C/2))

=4RsinBsinCcos(A/2)/(2cos(A/2)cos(B/2-C/2))=2RsinBsinCsec(B/2-C/2)。

同理可得：

lb=2RsinCsinAsec(C/2-A/2)

lc=2RsinAsinBsec(A/2-B/2)

所以公式二成立。

附：三角形角分线公式。

如图，AD为△ABC角分线，求AD，

设△ABC面积为S，则S=bcsinA/2，同时S=AD·bsin(A/2)/2+AD·csin(A/2)/2。所以bcsinA=AD(b+c)sin(A/2)。所以AD=bcsinA/((b+c)sin(A/2))

=2bcsin(A/2)cos(A/2)/((b+c)sin(A/2))

=2bc·cos(A/2)/(b+c)。