一、函数性质的基本概念

函数性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和对称性等。这些性质有助于深入理解函数的行为和特征。（一）有界性

部分三角函数具有有界性，如cos(2kπ+α)==cosα，sin函数和cos函数的值域是[-1,1]，这表明它们是有界函数，即函数值在一定范围内。这一性质在许多数学和物理问题中有重要应用，例如在研究波动现象时，三角函数的有界性可以用来限制某些物理量的取值范围等。

（二）单调性

单调性的定义单调性是函数的一种固有属性，与函数的定义域和值域无关，只与函数在定义域内的变化趋势有关。它是指函数在某个区间内的增减性。如果对于定义域内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数单调递增；如果f(x1)>f(x2)，则函数单调递减。
单调性的判断方法定义法：通过比较函数在定义域内的任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)来判断单调性。导数法：通过求函数的导数，判断导数的正负来判断函数的单调性。导数大于00时函数单调递增，导数小于00时函数单调递减。图像法：通过观察函数的图像，如果图像从左到右上升，则函数单调递增；如果图像从左到右下降，则函数单调递减。
单调性的应用极值问题：通过判断函数的单调性，可以确定函数的极值点，从而求出函数的极值。例如，在求解最大值或最小值问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索方向。稳定性问题：在研究系统的稳定性时，可以利用函数的单调性来判断系统的稳定性。例如，对于一阶线性微分方程，如果其解是单调的，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。

奇偶性的定义对于函数f(x)，如果对于其定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称()f(x)为偶函数，偶函数的图像关于y轴对称；如果f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数，奇函数的图像关于原点对称，且奇函数的定义域必须关于原点对称，而偶函数的定义域可以关于原点对称，也可以不关于原点对称。
奇偶性的判断方法定义法：根据奇偶性的定义来判断。图像法：通过观察函数的图像来判断。如果函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数为偶函数。代数法：通过代入特殊值来判断。

周期性的定义如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期。周期函数可能有多个周期，最小的正周期称为最小正周期。
周期性的判断与求解根据周期函数的定义，通过代入法找出满足条件的T值。也可以将函数进行恒等变换，转化为已知周期的函数，从而求出最小正周期。
周期性的应用在物理学和工程学等领域，周期函数是研究函数性质的重要工具，通过对周期函数的研究，可以深入了解函数的性质和变化规律。

例题详解

例题 1

例题 2

例题 3

例题 5

例题 6

例题 7

例题 8

例题 9

例题 10

扫描二维码推送至手机访问。