求函数的解析式常见错误是：只求出表示函数的代数式而不考虑定义域。

求函数解析式的常用方法有：

1、待定系数法。已知函数的类型求函数的解析式，常用待定系数法求解。具体步骤：①设含有待定系数的解析式。如一次函数y=aⅩ+b(a≠0)，二次函数y=aX^2+bX+C(a≠0)，反比例函数y=K/x(K≠0)；②把已知条件代入解析式，列出方程组；③解方程组求出待定系数；④将所求系数代回所设解析式。

2、换元法。用换元法求解析式简单明了。易错点还是函数的定义域。

3、配凑法。隐含换元法思想而不出现换元，而是直接用x去替换。易错点仍然是函数的定义域。

4、方程法：含有f(X)与f(一X)；f(×)与f(1/x)的可联立解方程组求f(X)。

例1、已知f(x+1/x)=x^2+1/x^2，求f(X)的解析式。

[思路探寻]：①用换元法。

令x+1/x=t，两边平方，得x^2+2+1/x^2=t^2，X^2+1/x^2=t^2一2，代入得f(t)=t^2一2。

又t=X+1/x∈(一∞，一2]U[2，+∞)，∴函数的解析式为f(×)=x^2一2，x∈(一∞，一2]U[2，+∞)。

②用配凑法。f(X+1/x)=(x+1/x)^2一2，故函数的解析式为f(X)=X^2一2。配凑法其实是简化了换元法的过程，还是换元法的思想。这个函数的定义域目前学生还不会求，因为要用到对勾函数的单调性。

例2、已知f(×)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)一f(X)=x一1，求f(x)。

[思路探寻]用待定系数法。

设f(X)=ax^2+bX+C(a≠0)，由已知得：

f(o)=C=2，a(x+1)^2+b(x+1)+2一(aX^2+bX+2)=X一1，2aⅩ+a+b=x一1，2a=1且a+b=一1，∴a=1/2，b=一1，

∴f(x)=1/2X^2一X+2。

[易错点]是漏写a≠0；再者就是不理解等式2aX+a+b=X一1，是对任意实数X都成立。因而有2a=1且a+b=一1。

例③已知f(X)+2f(1/x)=2x+1，求f(x)的解析式。

[思路探寻]这一题是典型的构造出方程组求解的。用1/×替换条件中的x，然后联立消去f(1/×)，得出解析式。

[解析]f(x)+2f(1/X)=2X+1①

用1/X代替x

得f(1/X)+2f(X)=2/X+1②

联立①②消去f(1/X)得

f(x)=

例④、定义在[一1，1]上的函数f(×)满足f(X+1)=2f(×)。若当0≤X≤1时，f(X)=X(1一X)，则当一1≤x≤0时，f(x)=

[思路探寻]求一1≤X<0时的解析式，就是把一1≤X≤0转化到0≤x≤1时f(x)=X(1一X)上来。

解：当一1≤X≤0时，0≤1+X≤1，代入得f(x+1)=(X+1)(1一X一1)=一X(X+1)，又f(x)=f(x+1)/2，

∴f(x)=一Ⅹ(X+1)/2。

[迁移1]已知f(×)为R上的偶函数，当X<0时，f(x)=x(x一1)，则当x>0时，f(x)=

[思路探寻]利用偶函数的性质求解。

解：当X>0时，一X<0，

f(一X)=一X(一X一1)=Ⅹ(X+1)

又f(一X)=f(X)

∴f(Ⅹ)=f(一X)=X(X+1)

[迁移2]函数f(X)为R上的奇函数，当X>0时，f(x)=一2X^2+3X+1，求f(x)的解析式。

(解法同上)

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