1. 证明代数不等式
2. 例如，要证明对于任意实数x，都有ex≥x+1。
3. 构造函数f(x)=ex-x-1。
4. 求导得f′(x)=ex-1。
5. 分析导数的符号：当x<0时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>0时，f′(x)>0，函数单调递增。
6. 因此，函数在x=0处取得最小值，即f(0)=0。
7. 所以，对于任意实数x，都有f(x)≥0，即ex≥x+1。
8. 证明含有对数或指数的不等式
9. 例如，要证明对于任意正实数a和b，且a=b，都有2a+b>ab（这是均值不等式的一个特例）。
10. 构造函数f(x)=lnx（这里利用了对数函数的单调性）。
11. 要证原不等式，只需证ln2a+b>lnab。
12. 进一步化简得ln(a+b)-ln2>21(lna+lnb)。
13. 构造函数g(x)=ln(x+b)-lnx-ln2+21lnb（其中x=a）。
14. 求导并分析导数的符号，可以证明g(x)在(0,+∞)上单调递减。
15. 由于a=b，不妨设a>b，则g(a)<g(b)=0。
16. 因此，原不等式成立。

一般步骤

1. 根据不等式形式构造函数：通常选择使得不等式两边与函数值或函数值的某种组合相对应的函数。
2. 求导并分析单调性：通过求导来确定函数的单调区间。
3. 利用单调性证明不等式：根据函数的单调性，结合不等式的条件，证明不等式成立。

注意事项

• 构造函数时要根据不等式的特点选择合适的函数形式。
• 求导时要仔细计算，避免出错。
• 分析单调性时要注意导数的符号变化。
• 利用单调性证明不等式时要确保逻辑严密。

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